数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 関数の極限 極限の応用問題 線分、交点

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問12の解答を求めてみる。

交点Rを求める。

点A、Bを通る直線の方程式は、

y = - 4 3 x + 4

点P、Q を通る直線の方程式は、

y = - v u x + v

交点Rについて。

- 4 3 x + 4 = - v u x + v ( v u - 4 3 ) x = v - 4 3 v - 4 u 3 u x = v - 4 x = 3 u ( v - 4 ) 3 v - 4 u y = - 4 3 · 3 u ( v - 4 ) 3 v - 4 u + 4

また、

A P = B Q

なので、

u - 3 = 4 - v u = 7 - v x = 3 ( 7 - v ) ( v - 4 ) 3 v - 4 ( 7 - v ) = 3 ( 7 - v ) ( v - 4 ) 7 v - 4 · 7 = 3 ( 7 - v ) ( v - 4 ) 7 ( v - 4 ) = 3 ( 7 - v ) 7

また、

v → 4

のとき線分PQは線分ABに限りなく近づくので、

lim v → 4 x = 3 ( 7 - 4 ) 7 = 9 7 lim v → 4 y = - 4 3 · 9 7 + 4 = - 12 7 + 4 = 16 7

ゆえに交点Rは

( 9 7 , 16 7 )

に近づく。

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Manipulate[
    ContourPlot[
        {
            y == -4/3x+4,
            y == -v/(7-v) x + v,
            x == 9/7,
            y == 16/7
        },
        {x, 0, 5},
        {y, 0, 5},
        FrameLabel -> Automatic
    ],
    {v, 0, 4}
]
Output