関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法関数の極限極限の応用問題放物線、円、交点、中心

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問11の解答を求めてみる。

3点

\begin{array}{l} (0, 0) \\ (h, h^{2}) \\ (- h, h^{2}) \end{array}

を通る円の中心のx座標は0である。

\begin{array}{l} a > 0 \\ P_{h} = (0, a) \end{array}

とおくと

\begin{array}{l} a = \sqrt{h^{2} + {(a - h^{2})}^{2}} \\ a^{2} = h^{2} + {(a - h^{2})}^{2} \\ a^{2} = h^{2} + a^{2} - 2 a h^{2} + h^{4} \\ a = \frac{h^{4} + h^{2}}{2 h^{2}} = \frac{h^{2} + 1}{2} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} P_{h} \\ = \lim_{h \to 0} (0, \frac{h^{2} + 1}{2}) \\ = (0, \frac{1}{2}) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Manipulate[
    ContourPlot[
        {
            y == x^2,
            x^2 + (y - (h^2+1)/2)^2 == (h^2+1)/2,
            y == 1/2
        },
        {x, -5, 5},
        {y, -5, 5},
        FrameLabel -> Automatic
    ],
    {h, -2, 2}
]

$Output$