数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 関数の極限 極限の応用問題 双曲線、直線、漸近線、交点、距離

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問13の解答を求めてみる。

( u , v )

は双曲線上の点、第1象限上の点なので、

u 2 - v 2 = 1 v = u 2 - 1

点P、Qを通る直線の方程式は、

y = v u - 1 ( x - 1 )

点Rを求める。

x = v u - 1 ( x - 1 ) ( 1 - v u - 1 ) x = - v u - 1 u - v - 1 u - 1 x = - v u - 1 x = - v u - v - 1 R = - v u - v - 1 ( 1 , 1 )

QRの長さ。

( - v u - v - 1 - u ) 2 + ( - v u - v - 1 - v ) 2 = ( - v - u 2 + u v + u u - v - 1 ) 2 + ( - v - u v + v 2 + v u - v - 1 ) 2 = ( ( u - v ) ( - u + 1 ) u - v - 1 ) 2 + ( ( u - v ) ( - v ) u - v - 1 ) 2 = ( u - v ) 2 ( ( - u + 1 ) 2 + v 2 ) ( u - v - 1 ) 2 = ( u - v ) 2 ( ( u - 1 ) 2 + ( u 2 - 1 ) ) ( u - v - ( u 2 - v 2 ) ) 2 = ( u - v ) 2 ( u 2 - 2 u + 1 + u 2 - 1 ) ( ( u - v ) ( 1 - ( u + v ) ) ) 2 = 2 u ( u - 1 ) ( 1 - u - v ) 2 = 2 u ( u - 1 ) ( 1 - u - v ) 2 = 2 u ( u - 1 ) ( 1 - u - u 2 - 1 ) 2 = 2 ( 1 - 1 u ) ( 1 u - 1 - 1 - 1 u ) 2

よって、

lim n → ∞ Q R = 1 2 = 1 2

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Manipulate[
    ContourPlot[
        {
            x^2-y^2==1,
            y == Sqrt[u^2-1]/(u-1) (x - 1),
            x == u,
            y == Sqrt[u^2-1],
            x == -Sqrt[u^2-1]/(u-Sqrt[u^2-1]-1),
            y == -Sqrt[u^2-1]/(u-Sqrt[u^2-1]-1)
        },
        {x, 0, 10},
        {y, 0, 10},
        AxesLabel -> "Expressions"
    ],
    {u, 2, 10}
]
Output