関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法関数の極限指数関数、対数関数の極限収束、発散

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.1(関数の極限)、指数関数、対数関数の極限の問9の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} 2^{- x} = 0

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} (2^{x} - 3^{x}) \\ = \lim_{x \to \infty} 3^{x} ({(\frac{2}{3})}^{x} - 1) \\ = - \infty \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} 2^{\frac{1}{x}} \\ = \lim_{x \to \infty} 2^{x} \\ = \infty \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to - 0} 2^{\frac{1}{x}} \\ = \lim_{x \to - \infty} 2^{x} \\ = 0 \end{array}

\lim_{x \to + 0} \log_{2} \frac{1}{x} = \infty

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} (\log_{2} x - \log_{4} x) \\ = \lim_{x \to \infty} (\frac{\log x}{\log 2} - \frac{\log x}{\log 4}) \\ = \lim_{x \to \infty} (\log x) (\frac{1}{\log 2} - \frac{1}{\log 4}) \\ = \infty \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Plot[
    {
        2^(-x),
        2^x-3^x,
        2^(1/x),
        Log[2, 1/x],
        Log[2, x] - Log[4, x]
    },
    {x, -5, 5},
    AxesLabel -> Automatic,
    PlotLegends -> "Expressions"
]