行列式行列式の幾何学的意味 2つの平面ベクトルで張られる平行四辺形の面積、絶対値、三角関数(正弦と余弦)

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、11(行列式の幾何学的意味)、基本問題の問11.2の解答を求めてみる。

任意の

x, y \in ℝ

に対して、問題の仮定より、Lは等長変換なので

| L (x) - L (y) | = | x - y |

よって、

\begin{array}{l} {| L (x) - L (y) |}^{2} = {| x - y |}^{2} \\ (L (x) - L (y)) \cdot (L (x) - L (y)) = (x - y) \cdot (x - y) \\ {| L (x) |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) |}^{2} = {| x |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y |}^{2} \\ {| L (x) - O |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) - O |}^{2} = | x - O | - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2} \end{array}

問題の仮定より

L (O) = O

なので、

{| L (x) - L (O) |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) - L (O) |}^{2} = {| x - O |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2}

再びLが等長変換であることから、

\begin{array}{l} {| x - O |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + | y - O | = {| x - O |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2} \\ - 2 L (x) \cdot L (y) = - 2 x \cdot y \\ L (x) \cdot L (y) = x \cdot y \end{array}

よって、Lは直交変換である。

（証明終）