行列式特別な形をした行列式平面上の点、多項式、次数、一意性、係数、ヴァンデルモンドの行列式、連立1次方程式の解、クラメルの公式

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手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、10(特別な形をした行列式)、チャレンジ問題の問10.5の解答を求めてみる。

fを n-1 次以下の多項式とし、

f (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} x^{k}

これが

\begin{array}{l} f (x_{i}) = y_{i} \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

を満たすとき、

\begin{array}{l} y_{i} = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} x_{i}^{k} \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

{\begin{cases} a_{0} + x_{1} a_{1} + \dots + x_{1}^{n - 1} a_{n - 1} = y_{1} \\ a_{0} + x_{2} a_{1} + \dots + x_{2}^{n - 1} a_{n - 1} = y_{2} \\ ⋮ \\ a_{0} + x_{n} a_{1} + \dots + x_{n}^{n - 1} a_{n - 1} = y_{n} \end{cases}

ここで、

X = [\begin{matrix} 1 & \dots & x_{1}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix}]

とおくと、ヴァンデルモンドの行列式なので、

\det X = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i})

また、問題の仮定より、

i \neq j \Rightarrow x_{i} \neq x_{j}

なので、

\det X \neq 0

よってクラメルの公式より、

\begin{array}{l} a_{i} = \frac{1}{\det X} [\begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{i - 2} & y_{1} & x_{1}^{i} & \dots & x_{1}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \dots & x_{n}^{i - 2} & y_{n} & x_{n}^{i} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix}] \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

よって、多項式fは一意的に定まる。