行列式特別な形をした行列式工夫、繰り返し、対角、階乗、積

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、10(特別な形をした行列式)、基本問題の問10.2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ a_{1} & x & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ a_{1} & a_{2} & x & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & x & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} & 1 \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} x - a_{1} & a_{1} - x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x - a_{2} & a_{2} - x & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x - a_{3} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - a_{n} & 0 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} & 1 \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} x - a_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x - a_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x - a_{3} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - a_{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}] \\ = \prod_{k = 1}^{n} (x - a_{k}) \end{array}

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & \dots & n - 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & n - 1 \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & n - 1 \end{matrix}] \\ = (n - 1)! \end{array}