行列式特別な形をした行列式サラスの方法、ヴァンデルモンドの行列式

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、10(特別な形をした行列式)、確認問題の問10.1の解答を求めてみる。

サラスの方法。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix}] \\ = (18 + 3 + 4) - (12 + 9 + 2) \\ = 25 - 23 \\ = 2 \end{array}

ヴァンデルモンドの行列式を用いる方法。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} \end{matrix}] \\ = (2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) \\ = 2 \end{array}

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} & \dots & n^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1^{n - 1} & 2^{n - 1} & 3^{n - 1} & \dots & n^{i - 1} \end{matrix}] \\ = \prod_{i = 2}^{n} \prod_{j = 1}^{i - 1} (i - j) \\ = \prod_{i = 2}^{n} (i - 1)! \\ = \prod_{i = 2}^{n - 1} i! \end{array}