行列の指数関数正方行列、成分、指数関数、累乗、帰納法

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手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第4章(行列の指数関数)、12(行列の指数関数)、基本問題の問12.2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] \\ A^{2} = [\begin{matrix} λ^{2} & 2 λ \\ 0 & λ^{2} \end{matrix}] \\ A^{3} = [\begin{matrix} λ^{2} & 2 λ \\ 0 & λ^{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ^{3} & 3 λ^{2} \\ 0 & λ^{3} \end{matrix}] \\ A^{4} = [\begin{matrix} λ^{3} & 3 λ^{2} \\ 0 & λ^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ^{4} & 4 λ^{3} \\ 0 & λ^{4} \end{matrix}] \\ A^{5} = [\begin{matrix} λ^{4} & 4 λ^{3} \\ 0 & λ^{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ^{5} & 5 λ^{4} \\ 0 & λ^{5} \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} A^{n} \\ = A^{n - 1} A \\ = [\begin{matrix} λ^{n - 1} & (n - 1) λ^{n - 2} \\ 0 & λ^{n - 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & λ^{n} \end{matrix}] \end{array}

よって帰納法により成り立つ。

\begin{array}{l} \exp [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] \\ \infty \\ = E + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} [\begin{matrix} λ^{k} & k λ^{k - 1} \\ 0 & λ^{k} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} & 0 \\ 0 & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} \end{matrix}] + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{λ^{k - 1}}{(k - 1)!} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} e^{λ} & 0 \\ 0 & e^{λ} \end{matrix}] + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} e^{λ} & 0 \\ 0 & e^{λ} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & e^{λ} \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} e^{λ} & e^{λ} \\ 0 & e^{λ} \end{matrix}] \end{array}