行列の指数関数定義、計算

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第4章(行列の指数関数)、12(行列の指数関数)、確認問題の問12.1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \exp [\begin{matrix} 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ = E + [\begin{matrix} 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] + \frac{1}{2!} [\begin{matrix} 0 & 0 & λ^{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & λ & \frac{1}{2} λ^{2} \\ 0 & 1 & λ \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} A = (1) \\ A^{2} = (n) \\ A^{3} = (n^{2}) \\ A^{4} = (n^{3}) \\ A^{5} = (n^{4}) \end{array}

また、

\begin{array}{l} A^{k} \\ = A^{k - 1} A \\ = (n^{k - 2}) (1) \\ = (n \cdot n^{k - 2}) \\ = (n^{k - 1}) \end{array}

よって帰納法により

A^{k} = (n^{k - 1})

ゆえに、

\begin{array}{l} \exp A \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^{k} \\ = E + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} (n^{k - 1}) \\ = E + (\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} n^{k - 1}) A \\ = E + \frac{1}{n} (\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{n^{k}}{k!}) A \\ = E + \frac{1}{n} (e^{n} - 1) A \end{array}