数学のブログ

空間と連続写像連続写像と同相写像直積、距離空間、全単射、逆写像、成分

トポロジー入門
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学習環境

トポロジー入門 (松本幸夫(著)、岩波書店)の第1章(空間と連続写像)、4(連続写像と同相写像)の演習問題4.2の解答を求めてみる。

fとgが連続とする。

(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y

を任意の点とする。

任意の正の実数

ε > 0

に対して、

(x, y)

を直積

X \times Y

元とするとき、ある実数

δ_{x}, δ_{y} \in ℝ

が存在して、

\begin{array}{l} d_{X} (x, x_{0}) < δ_{x} \\ d_{Y} (y, y_{0}) < δ_{y} \end{array}

ならば

\begin{array}{l} d_{X_{0}} (f (x), f (x_{0})) < \frac{ε}{2} \\ d_{Y_{0}} (g (y), g (y_{0})) < \frac{ε}{2} \end{array}

が成り立つ。

よって、

δ = \min {δ_{x}, δ_{y}}

とおくと、

d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) < δ

ならば、

\begin{array}{l} d_{X_{0} \times Y_{0}} (f \times g (x, y), f \times g (x_{0}, y_{0})) \\ = d_{X_{0} \times Y_{0}} ((f (x), g (y)), (f (x_{0}), g (y_{0}))) \\ = d_{X_{0}} (f (x), f (x_{0})) + d_{Y_{0}} (g (y), g (y_{0})) \\ < \frac{1}{2} ε + \frac{1}{2} ε \\ = ε \end{array}

よって、

f \times g : X \times Y \to X_{0} \times Y_{0}

は連続である。

f とgが同相写像のとき、 fとgは全単射が連続で、逆写像

f^{- 1}, g^{- 1}

も連続である。

また、

f \times g

は全単射で連続であり、逆写像

{(f \times g)}^{- 1}

も連続である。

よって、

f \times g

は同相写像である。