数学のブログ

整数 素数 互いに素であるための必要十分条件、共通の素因数

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第2章(素数)の問14の解答を求めてみる。

( a , b ) = 1

のとき、 a、bが共通の素因数p をもつと仮定すると、

a = a 0 p b = b 0 p a 0 , b 0 ∈ ℕ \ { 0 }

とおくことができ、

( a , b ) = ( a 0 p , b 0 p ) = ( a 0 , b 0 ) p > 1

となり矛盾。

よって、 共通の素因数を持たない。

逆に、 a、 bが 共通の素因数を持たないならば、

( a , b ) = 1

である。

（証明終）