数学のブログ

整数 剰余類と合同式 5以上の素数、法

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問12の解答を求めてみる。

pは5以上の素数なので、

p ≡ 1 ( m o d 3 )

または

p ≡ 2 ( m o d 3 ) p ≡ - 1 ( m o d 3 )

よって、

p 2 ≡ 1 ( m o d 3 )

また、pは5以上の素数なので、奇数である。

よって、 ある2以上の整数nが存在して、

p = 2 n + 1

と表すことができる。

nは2以上の整数なので、ある整数mが存在して、

n = 2 m

または

n = 2 m - 1

と おくことができる。

よって、 pは

p = 4 m + 1

または

p = 4 m - 2 + 1 = 4 m - 1

とおくことができる。

ゆえに、

p 2 = ( 4 m ± 1 ) 2 = 16 m 2 ± 8 m + 1 ≡ 1 ( m o d 8 )

よって、

p 2 ≡ 1 ( m o d 3 ) ∧ p 2 ≡ 1 ( m o d 8 )

なので、

p 2 ≡ 1 ( m o d 24 )

である。

（証明終）