数学のブログ

整数剰余類と合同式類別、除法の定理、共通部分、空集合、一意性

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問2の解答を求めてみる。

1

任意の整数nに対して、ある整数k、rが存在して、

\begin{array}{l} n = m k + r \\ 0 \leq r < m - 1 \end{array}

よって、

n \in R_{r}

ゆえに、

R_{0} \cup \dots \cup R_{m - 1} \subset ℤ

また、

R_{0} \cup \dots \cup R_{m - 1}

の任意の元は整数なので、

R_{0} \cup \dots \cup R_{m - 1} \subset ℤ

よって、

ℤ = R_{0} \cup \dots \cup R_{m - 1}

（証明終）

2

i \neq j

のとき、

R_{i} \cap R_{j} \neq ϕ

と仮定すると、あるn

n \in R_{i} \cap R_{j}

が存在して、

\begin{array}{l} n = m k_{0} + i \\ n = m k_{1} + j \\ 0 \leq i, j \leq m \end{array}

除法の定理の一意性より、

\begin{array}{l} k_{0} = k_{1} \\ i = j \end{array}

となり矛盾。

よって、

R_{i} \cap R_{j} = ϕ

（証明終）