数学のブログ

整数剰余類と合同式法、合同、差、除法の定理、定義、同値

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問7の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a \equiv b \\ (m o d m) \end{array}

ならば、

0 \leq r < m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k_{0}, k_{1}

が存在して、

\begin{array}{l} a = m k_{0} + r \\ b = m k_{1} + r \end{array}

よって、

\begin{array}{l} a - b \\ = (m k_{0} + r) - (m k_{1} + r) \\ = m (k_{0} - k_{1}) + 0 \end{array}

なので、

\begin{array}{l} a - b \equiv 0 \\ (m o d m) \end{array}

逆に、

\begin{array}{l} a - b \equiv 0 \\ (m o d m) \end{array}

ならば、

0 \leq r < m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k_{0}, k_{1}

が存在して、

\begin{array}{l} a - b = m k_{0} + r \\ 0 = m k_{1} + r \end{array}

よって、

r = 0

なので、

a - b = m k_{0}

また、除法の定理より、ある整数

0 \leq r_{1} < m

が存在して、

b = m k_{2} + r_{1}

よって、

\begin{array}{l} a - m k_{2} + r_{1} = m k_{0} \\ a = m (k_{0} + k_{2}) + r_{1} \end{array}

ゆえに、

\begin{array}{l} a \equiv b \\ (m o d m) \end{array}

（証明終）