数学のブログ

整数 剰余類と合同式 法、合同、差、除法の定理、定義、同値

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問7の解答を求めてみる。

ab(modm)

ならば、

0r<m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k0,k1

が存在して、

a=mk0+rb=mk1+r

よって、

a-b=(mk0+r)-(mk1+r)=m(k0-k1)+0

なので、

a-b0(modm)

逆に、

a-b0(modm)

ならば、

0r<m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k0,k1

が存在して、

a-b=mk0+r0=mk1+r

よって、

r=0

なので、

a-b=mk0

また、除法の定理より、ある整数

0r1<m

が存在して、

b=mk2+r1

よって、

a-mk2+r1=mk0a=m(k0+k2)+r1

ゆえに、

ab(modm)

(証明終)