数学のブログ

整数 剰余類と合同式 法、合同、差、除法の定理、定義、同値

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問7の解答を求めてみる。

a ≡ b ( m o d m )

ならば、

0 ≤ r < m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k 0 , k 1

が存在して、

a = m k 0 + r b = m k 1 + r

よって、

a - b = ( m k 0 + r ) - ( m k 1 + r ) = m ( k 0 - k 1 ) + 0

なので、

a - b ≡ 0 ( m o d m )

逆に、

a - b ≡ 0 ( m o d m )

ならば、

0 ≤ r < m

を満たすある整数rが存在して、ある整数

k 0 , k 1

が存在して、

a - b = m k 0 + r 0 = m k 1 + r

よって、

r = 0

なので、

a - b = m k 0

また、除法の定理より、ある整数

0 ≤ r 1 < m

が存在して、

b = m k 2 + r 1

よって、

a - m k 2 + r 1 = m k 0 a = m ( k 0 + k 2 ) + r 1

ゆえに、

a ≡ b ( m o d m )

（証明終）