数学のブログ

整数 剰余類と合同式 正整数、各位の和、数字根、九去法、十進数

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問14の解答を求めてみる。

aを任意の正整数とし、 その桁数をnとする。

aを

a = ∑ k = 0 n - 1 1 0 k a k

とおく。

また、

10 ≡ 1 ( m o d 9 ) 10 ≡ 10 ( m o d 9 )

また、

1 0 k - 1 ≡ 1 0 k - 2 ( m o d 9 ) 10 · 1 0 k · 1 ≡ 10 · 1 0 k - 2 ( m o d 9 ) 1 0 k ≡ 10 · 1 0 k - 1 ≡ 10 ≡ 1 ( m o d 9 )

よって帰納法によりすべての非負整数kに対して成り立つ。

ゆえに、

1 0 k a k ≡ a k ( m o d 9 )

なので、

∑ k = 0 n - 1 1 0 k a k ≡ ∑ k = 0 n - 1 a k ( m o d 9 )

よって、 任意の数は法9に関して数字根に合同である。

（証明終）