数学のブログ

整数剰余類と合同式最小公倍数、倍数、約数

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
 楽天ブックス
Yahoo!ショッピング
au PAY マーケット

学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問11の解答を求めてみる。

[m, n] = l

とする。

a \equiv b (m o d m) \land a \equiv b (m o d n)

ならば、

(m | a - b) \land (n | a - b)

よって、

l | a - b

ゆえに、

\begin{array}{l} a - b \equiv 0 (m o d l) \\ a \equiv b (m o d l) \end{array}

逆に、

a \equiv b (m o d l)

ならば、

a - b \equiv 0 (m o d l)

よって、

l | a - b

ゆえに、

m | a - b \land n | a - b

よって、

a - b \equiv 0 (m o d m) \land a - b \equiv 0 (m o d n)

すなわち

a \equiv b (m o d m) \land a \equiv b (m o d n)

（証明終）