数列と関数連続関数関数の連続性ガウスの記号、整数、右側極限、左側極限、不連続

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.4(連続関数)、c(関数の連続性)の問36の解答を求めてみる。

xが整数のとき、

\begin{array}{l} - 1 < h < 0 \\ | f (x + h) - f (x) | \\ = | (x + h - [x + h]) - (x - [x]) | \\ = | x + h - (x - 1) - (x - x) | \\ = | h + 1 | \end{array}

よって、

\lim_{h \to - 0} f (x + h) \neq f (x)

ゆえに、 x が整数のときは不連続である。

xが整数ではないとき、

\begin{array}{l} 0 < h < 1 \\ | f (x + h) - f (x) | \\ = | (x + h - [x + h]) - (x - [x]) | \\ = | (x + h - [x]) - x + [x] | \\ = | - [x] + [x] + h | \\ = h \end{array}

よって、

\lim_{h \to + 0} | f (x + h) - f (x) | = 0

また、

\begin{array}{l} - 1 < h < 0 \\ | f (x + h) - f (x) | \\ = | ((x + h) - [x + h]) - (x - [x]) | \\ = | x + h - ([x] - 1) - (x - ([x] - 1)) | \\ = | h | \end{array}

よって、

\lim_{h \to - 0} | f (x + h) - f (x) | = 0

ゆえに、

\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} | f (x + h) - f (x) | = 0 \\ \lim_{h \to 0} f (x + h) = f (x) \end{array}

なので連続である。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot[x - Floor[x], {x, -5, 5}]