数学のブログ

数列と関数 連続関数 振幅と連続関数 逆数、上限、区間

現代数学への入門 微分と積分1 初等関数を中心に (青本 和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.4(連続関数)、f(振幅と連続関数)の問39の解答を求めてみる。

x 0 , x 1 ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x 0 ) - f ( x 1 ) | = | 1 x 0 + 1 - 1 x 1 + 1 | = | x 1 - x 0 ( x 0 + 1 ) ( x 1 + 1 ) | ≤ δ ( x 0 + 1 ) ( x 1 + 1 )

また、

x 0 ≤ 1 - δ x 1 = x 0 + δ

とおけば、

( x 0 + 1 ) ( x 1 + 1 ) = ( x 0 + 1 ) ( x 0 + δ + 1 )

となり、

x 0 = 0

のとき最小値をとる。

よって、

ω f ( δ ) = δ δ + 1

極限について。

lim δ → 0 ω f ( δ ) = 0

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot[
    1/(x+1),
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output