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数列と関数連続関数合成関数と逆関数三角関数(正弦と余弦)、平方根、加法定理、倍角、累乗

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に
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学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.4(連続関数)、b(合成関数と逆関数)の問33の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} x \geq - 1 \\ f (x) = \sqrt{1 + x} \\ (f \circ f) (\sin^{2} θ) \\ = f (f (\sin^{2} θ)) \\ = f (\sqrt{1 + \sin^{2} θ}) \\ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sin^{2} θ}} \end{array}

また、

\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 1 \\ f (x) = 4 x (1 - x) \\ (f \circ f) (\sin^{2} θ) \\ = f (f (\sin^{2} θ)) \\ = f (4 \sin^{2} θ (1 - \sin^{2} θ)) \\ = f (4 \sin^{2} θ \cos^{2} θ) \\ = f (\sin^{2} 2 θ) \\ = 4 \sin^{2} 2 θ (1 - \sin^{2} 2 θ) \\ = 4 \sin^{2} 2 θ \cos^{2} 2 θ \\ = \sin^{2} 4 θ \end{array}