数学のブログ

数列と関数 実数の基本的な性質 指数関数 逆数、近似値、絶対値、有界

現代数学への入門 微分と積分1 初等関数を中心に (青本 和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、d(指数関数)の問29の解答を求めてみる。

| e - 1 - a n | = | ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k 1 k ! - ∑ k = 2 n ( - 1 ) k 1 k ! | = | ∑ k = n + 1 ∞ ( - 1 ) k 1 k ! | = | ( - 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = n + 2 ∞ ( - 1 ) k 1 k ! |

nが偶数の場合。

| e - 1 - a n | = | - 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = n + 2 ∞ ( - 1 ) k 1 k ! | = | - 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = 0 ∞ ( 1 ( n + 2 k ) ! - 1 ( n + 2 k + 1 ) ! ) | = | - 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = 0 ∞ n + 2 k + 1 - 1 ( n + 2 k + 1 ) ! | = | - 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = 0 ∞ n + 2 k ( n + 2 k + 1 ) ! | = | 1 ( n + 1 ) ! - ∑ k = 0 ∞ n + 2 k ( n + 2 k + 1 ) ! | ≤ 1 ( n + 1 ) !

nが奇数の場合。

| e - 1 - a n | = | 1 ( n + 1 ) ! + ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ( n + 2 k ) ! + 1 ( n + 2 k + 1 ) ! ) | = | 1 ( n + 1 ) ! - ∑ k = 0 ∞ ( 1 ( n + 2 k ) ! - 1 ( n + 2 k + 1 ) ! ) | = | 1 ( n + 1 ) ! - ∑ k = 0 ∞ n + 2 k ( n + 2 k + 1 ) ! | ≤ 1 ( n + 1 ) !

よって、

| e - 1 - a n | ≤ 1 ( n + 1 ) !

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a[n_] := Sum[(-1)^k 1/Factorial[k], {k, 2, n}]

ListPlot[
    {Table[Exp[-1] - a[n], {n, 2, 10}],
     Table[1/Factorial[n+1], {n, 2, 10}],
     Table[-1/Factorial[n+1], {n, 2, 10}]},
    Joined -> True
]
Output