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数列と関数実数の基本的な性質コーシーの判定法無限級数、偶数、奇数、累乗、階乗

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に
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学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、c(コーシーの判定法)の問27の解答を求めてみる。

xを任意の実数とする。

任意の正整数pと

2 (N + 1) > x^{2}

て満たす自然数Nに対して、

\begin{array}{l} | \sum_{k = 1}^{p} \frac{x^{2 (N + k)}}{(2 (N + k))!} | \\ \leq \sum_{k = 1}^{p} | \frac{x^{2} (N + k)}{(2 (N + k))!} | \\ = \frac{| x^{2 (N + 1)} |}{(2 (N + 1))!} \sum_{k = 1}^{p} \frac{x^{2 (k - 1)}}{\frac{(2 (N + k))!}{(2 (N + 1))!}} \\ \leq \frac{x^{2 (N + 1)}}{(2 (N + 1))!} \sum_{k = 1}^{p} \frac{x^{2 (k - 1)}}{{(2 (N + 1))}^{k - 1}} \\ \leq \frac{x^{2 (N + 1)}}{(2 (N + 1))!} \frac{1}{1 - \frac{x^{2}}{2 (N + 1)}} \\ = \frac{x^{2 (N + 1)}}{(2 (N + 1))!} \end{array}

よって、

\lim_{N \to \infty} (\sum_{m = 0}^{N + p} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} - \sum_{m = 0}^{N} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!}) = 0

ゆえにコーシーの判定法により、

\sum_{µ = 0}^{n} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!}

は収束する。

もう1つの無限級数について。

2 (N + 1) + 1 > x^{2}

を満たす自然数Nに対して、

\begin{array}{l} | \sum_{k = 1}^{p} \frac{x^{2} (N + k) + 1}{(2 (N + k) + 1)!} | \\ \leq \frac{{| x |}^{2 (N + 1) + 1}}{(2 (N + 1) + 1)!} \sum_{k = 1}^{p} \frac{{| x |}^{2 (k - 1)}}{{(2 (N + 1) + 1)}^{k - 1}} \\ \leq \frac{{| x |}^{2 (N + 1) + 1}}{(2 (N + 1) + 1)!} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^{2}}{2 (N + 1) + 1}} \end{array}

よって、

\lim_{N \to \infty} (\sum_{m = 0}^{N + p} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} - \sum_{m = 0}^{N} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!}) = 0

ゆえに、コーシーの判定法により、

\lim_{n \to \infty} \sum_{m = 0}^{n} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!}

は収束する。

極限値について。

\begin{array}{l} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m!} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} + \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \\ \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{{(- x)}^{m}}{m!} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{{(- x)}^{2 m}}{(2 m)!} + \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{{(- x)}^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \end{array}

\begin{array}{l} f (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} + \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \\ f (- x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} - \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} = \frac{f (x) + f (- x)}{2} \\ \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 m + 1)!} = \frac{f (x) - f (- x)}{2} \end{array}