数列と関数実数の基本的な性質コーシーの判定法ネイピア数、極限、近似、小数展開

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、c(コーシーの判定法)の問26の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a_{1} = 1 + \frac{1}{1!} = 2 \\ a_{2} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} \\ = 2 + \frac{1}{2} \\ = \frac{5}{2} \\ = 2.5 \\ a_{3} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} \\ = \frac{5}{2} + \frac{1}{6} \\ = \frac{16}{6} \\ = \frac{8}{3} \\ a_{4} = \sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{k!} \\ = \frac{8}{3} + \frac{1}{24} \\ = \frac{65}{24} \end{array}

以下、小数展開。

\begin{array}{l} a_{5} = \sum_{k = 0}^{5} \frac{1}{k!} \\ = \frac{65}{24} + \frac{1}{120} \\ = \frac{325 + 1}{120} \\ = \frac{326}{120} \\ = \frac{163}{60} \\ = 2.716 \dots \end{array}

\begin{array}{l} a_{6} = \frac{326}{120} + \frac{1}{720} \\ = \frac{1957}{720} \\ = 2.71805 \dots \end{array}

\begin{array}{l} a_{7} = \frac{1957}{720} + \frac{1}{5040} \\ = \frac{13700}{5040} \\ = 2.71825396825396 \dots \end{array}

1桁ずつ一致していっている。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

f[n_] := Sum[1/Factorial[k], {k, 0, n}]

ListPlot[
    {Table[f[n], {n, 0, 7}],
     Table[Exp[1], {n, 0, 7}]},
    Joined -> True
]