数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式部分空間、和とスカラー倍、共通部分、零ベクトル、次元、不等式、等式

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題10の解答を求めてみる。

部分空間であることについて。

和について。

x と y を

V + W

の任意の元とする。

このときある

\begin{array}{l} v_{0}, v_{1} \in V \\ w_{0}, w_{1} \in W \end{array}

が存在して、

\begin{array}{l} x = v_{0} + w_{0} \\ y = v_{1} + w_{1} \end{array}

とおくことができる。

このとき、

\begin{array}{l} x + y \\ = (v_{0} + w_{0}) + (v_{1} + w_{1}) \\ = (v_{0} + v_{1}) + (w_{0} + w_{1}) \end{array}

問題の仮定より V、W は

F^{n}

の部分空間なので、

\begin{array}{l} v_{0} + v_{1} \in V \\ w_{0} + w_{1} \in W \end{array}

よって、

x + y \in V + W

スカラー倍について。

c をFの任意の元とすると、

\begin{array}{l} c x \\ = c (v_{0} + w_{0}) \\ = c v_{0} + c w_{0} \end{array}

であり、

\begin{array}{l} c v_{0} \in V \\ c w_{0} \in W \end{array}

なので、

c x \in V + W

よって、

V + W

は

F^{n}

の部分空間である。

Vの基底を

{v_{1}, \dots, v_{s}}

Wの基底を

{w_{1}, \dots, w_{r}}

とする。

このとき、

\begin{array}{l} x = \sum_{k = 1}^{s} x_{k} v_{k} \\ y = \sum_{k = 1}^{r} y_{k} v_{k} \\ x + y \\ = \sum_{k = 1}^{s} x_{k} v_{k} + \sum_{k = 1}^{r} y_{k} v_{k} \end{array}

と表すことができる。

よって、

\begin{array}{l} \dim (V + W) \\ \leq s + r \\ = \dim V + \dim V \end{array}

また、

V \cap W = {O}

ならば、

\begin{array}{l} \dim (V + W) \\ = s + r \\ = \dim V + d i m W \end{array}