固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式距離、保存、盗聴変換、原点、直交変換、内積

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題8の解答を求めてみる。

任意の

x, y \in ℝ

に対して、問題の仮定より、Lは等長変換なので

| L (x) - L (y) | = | x - y |

よって、

\begin{array}{l} {| L (x) - L (y) |}^{2} = {| x - y |}^{2} \\ (L (x) - L (y)) \cdot (L (x) - L (y)) = (x - y) \cdot (x - y) \\ {| L (x) |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) |}^{2} = {| x |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y |}^{2} \\ {| L (x) - O |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) - O |}^{2} = | x - O | - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2} \end{array}

問題の仮定より

L (O) = O

なので、

{| L (x) - L (O) |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + {| L (y) - L (O) |}^{2} = {| x - O |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2}

再びLが等長変換であることから、

\begin{array}{l} {| x - O |}^{2} - 2 L (x) \cdot L (y) + | y - O | = {| x - O |}^{2} - 2 x \cdot y + {| y - O |}^{2} \\ - 2 L (x) \cdot L (y) = - 2 x \cdot y \\ L (x) \cdot L (y) = x \cdot y \end{array}

よって、Lは直交変換である。

（証明終）