数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式 距離、保存、盗聴変換、原点、直交変換、内積

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題8の解答を求めてみる。

任意の

x , y

に対して、 問題の仮定より、Lは等長変換なので

| L ( x ) - L ( y ) | = | x - y |

よって、

| L ( x ) - L ( y ) | 2 = | x - y | 2 ( L ( x ) - L ( y ) ) · ( L ( x ) - L ( y ) ) = ( x - y ) · ( x - y ) | L ( x ) | 2 - 2 L ( x ) · L ( y ) + | L ( y ) | 2 = | x | 2 - 2 x · y + | y | 2 | L ( x ) - O | 2 - 2 L ( x ) · L ( y ) + | L ( y ) - O | 2 = | x - O | - 2 x · y + | y - O | 2

問題の仮定より

L ( O ) = O

なので、

| L ( x ) - L ( O ) | 2 - 2 L ( x ) · L ( y ) + | L ( y ) - L ( O ) | 2 = | x - O | 2 - 2 x · y + | y - O | 2

再びLが等長変換であることから、

| x - O | 2 - 2 L ( x ) · L ( y ) + | y - O | = | x - O | 2 - 2 x · y + | y - O | 2 - 2 L ( x ) · L ( y ) = - 2 x · y L ( x ) · L ( y ) = x · y

よって、Lは直交変換である。

(証明終)