固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式線形、和とスカラー倍、内積の保存、ユニタリ変換(直交変換)

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題7の解答を求めてみる。

任意の

\begin{array}{l} x, y, z \in F^{n} \\ α \in F \end{array}

に対して、

\begin{array}{l} L (x + y) \cdot L (z) \\ = (x + y) \cdot z \\ = x \cdot z + y \cdot z \\ = L (x) \cdot L (z) + L (y) \cdot L (z) \\ = (L (x) + L (y)) \cdot L (z) \end{array}

よって、

L (x + y) = L (x) + L (y)

また、

\begin{array}{l} L (α x) \cdot L (z) \\ = α x \cdot z \\ = α L (x) \cdot L (z) \end{array}

よって、

L (α x) = α L (x)

ゆえに、Lは線形写像である。

以上より、Lはユニタリ変換である。

（証明終）