数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式線形変換、内積の保存、ユニタリ変換(直交変換)、ユニタリ行列(直交行列)、正規直交基底

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題6の解答を求めてみる。

a

線型変換Lがユニタリ変換ならば、

\begin{array}{l} i \neq j \\ u_{i} \cdot u_{j} \\ = L (e_{i}) \cdot L (e_{j}) \\ = e_{i} \cdot e_{j} \\ = 0 \end{array}

よって、

u_{i} ⊥ u_{j}

また、

\begin{array}{l} | u_{i} | \\ = \sqrt{u_{i} \cdot u_{i}} \\ = \sqrt{L (e_{i}) \cdot L (e_{i})} \\ = \sqrt{e_{i} \cdot e_{i}} \\ = \sqrt{{| e_{i} |}^{2}} \\ = \sqrt{1} \\ = 1 \end{array}

ゆえに、

{u_{1}, \dots, u_{n}}

は正規直交基底である。

逆について。

任意の

x, y \in F_{n}

に対して、

\begin{array}{l} x = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} e_{k} \\ y = \sum_{k = 1}^{n} y_{k} e_{k} \end{array}

であり、

\begin{array}{l} L (x) \cdot L (y) \\ = L (\sum_{k = 1}^{n} x_{k} e_{k}) \cdot L (\sum_{k = 1}^{n} y_{k} e_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} L (e_{k}) \cdot \sum_{k = 1}^{n} y_{k} L (e_{k}) \\ = (\sum_{k = 1}^{n} x_{k} u_{k}) \cdot (\sum_{k = 1}^{n} y_{k} u_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} y_{k} (u_{k} \cdot u_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} y_{k} \\ = x \cdot y \end{array}

よって、 Lはユニタリ変換である。

b

Lをユニタリ変換とする。

L = L_{U}, U \in M_{n} (F)

とするとき、任意の

x, y \in F^{n}

に対して、

\begin{array}{l} L (x) \cdot L (y) = x \cdot y \\ U x \cdot U y = x \cdot y \\ \bar{U^{T}} U x \cdot y = x \cdot y \\ \bar{U^{T}} U = I \end{array}

ゆえに、 Uはユニタリ行列である。

逆に、

L = L_{U}, U \in M_{n} (F)

とし、Uがユニタリ行列ならば、任意の

x, y \in F^{n}

に対して、

\begin{array}{l} {\bar{U}}^{T} U = I \\ \bar{U^{T}} U x \cdot y = I x \cdot y \\ U x \cdot U y = x \cdot y \\ L (x) \cdot L (y) = x \cdot y \end{array}

よって、 Lはユニタリ変換である。