数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式 線形変換が定める行列、エルミート変換

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題2の解答を求めてみる。

Lがエルミート変換とする。

Lを定める行列をAとするとき、

x · A y = A x · y A T - x · y = A x · y

よって、

A T - = A A - = A T

なので、 Aはエルミート行列である。

逆にLの定める行列Aがエルミート行列ならば、

x · A y = A x · y

よって、

x · L ( y ) = L ( x ) · y

ゆえに、線形変換Lはエルミート変換である。

（証明終）