固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式直交行列、実固有値、絶対値、行列式、転置行列

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題4の解答を求めてみる。

Uを直交行列とし、実固有値aをもつとする。また、aに対する固有ベクトルをyとする。

このとき、

\begin{array}{l} U y = a y \\ U^{T} U y = U^{T} a y \\ y = a U^{T} y \\ y_{i} = a \sum_{k = 1}^{n} u_{k i} y_{k} \\ | y_{i} | = | a \sum_{k = 1}^{n} u_{k i} y_{k} | \\ | y_{i} | = | a | \sum_{k = 1}^{n} | u_{k i} | | y_{k} | \end{array}

また、

{u_{1}, \dots, u_{n}}

は正規直交基底なので、

| y_{i} | = | a | \sum_{k = 1}^{n} | y_{k} |

ゆえに、

\begin{array}{l} | a | = 1 \\ a = \pm 1 \end{array}

また、

\begin{array}{l} U^{T} U = I \\ \det (U^{T} U) = \det I \\ (\det U^{T}) (\det U) = 1 \\ (\det U) (\det U) = 1 \\ {(\det U)}^{2} = 1 \\ \det U = \pm 1 \end{array}