数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式対称行列、対角化する直交行列、固有値、固有ベクトル、行列式

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題5の解答を求めてみる。

a

問題の行列の固有値を求める。

\begin{array}{l} \det (λ I - [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}]) = 0 \\ \det [\begin{matrix} λ - 1 & 2 \\ 2 & λ - 1 \end{matrix}] = 0 \\ {(λ - 1)}^{2} - 4 = 0 \\ (λ - 1 + 2) (λ - 1 - 2) = 0 \\ (λ + 1) (λ - 3) = 0 \\ λ = - 1, 3 \end{array}

固有値に対する固有ベクトルを求める。

\begin{array}{l} λ = - 1 \\ [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = - [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \\ x - 2 y = - x \\ - 2 x + y = - y \\ x = y \\ λ = 3 \\ [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = 3 [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \\ x - 2 y = 3 x \\ - 2 x + y = 3 y \\ y = - x \end{array}

固有ベクトルのノルムが1 の場合の国有ベクトルを考える。

\begin{array}{l} λ = - 1 \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 \\ x = y = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ λ = 3 \\ x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ y = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

よって、求める直交行列は、

U = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}]

実際に確認。

Uが直交行列がどうか。

\begin{array}{l} U^{T} U \\ = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ = I \end{array}

対角化された行列は

\begin{array}{l} U^{T} [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] U \\ = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] \end{array}

b

\begin{array}{l} \det (λ I - [\begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}]) \\ = \det [\begin{matrix} λ - 4 & - 1 & - 1 \\ - 1 & λ - 4 & - 1 \\ - 1 & - 1 & λ - 4 \end{matrix}] \\ = ({(λ - 4)}^{3} - 1 - 1) - ((λ - 4) + (λ - 4) + (λ - 4)) \\ = {(λ - 4)}^{3} - 3 (λ - 4) - 2 \\ = λ^{3} - 12 λ^{2} + 48 λ - 64 - 3 λ + 12 - 2 \\ = λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54 \\ λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54 = 0 \\ (λ - 3) (λ^{2} - 9 λ + 18) = 0 \\ {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0 \end{array}

固有ベクトル。

\begin{array}{l} λ = 3 \\ [\begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = 3 [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \\ x + y + z = 0 \\ λ = 6 \\ [\begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = 6 [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \\ {\begin{cases} 4 x + y + z = 6 x \\ x + 4 y + z = 6 y \\ x + y + 4 z' = 6 z \end{cases} \\ - 2 x + y + z = 0 \\ x - 2 y + z = 0 \\ x + y - 2 z = 0 \\ z = 2 x - y \\ x - 2 y + 2 x - y = 0 \\ 3 x - 3 y = 0 \\ x = y = z \end{array}

求める直交行列。

U = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & - \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}]

対角化された行列。

D = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}]

c

固有値。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} λ - 1 & 2 & 2 \\ 2 & λ + 1 & 0 \\ 2 & 0 & λ + 1 \end{matrix}] \\ = (λ - 1) {(λ + 1)}^{2} - (4 (λ + 1) + 4 (λ + 1)) \\ = (λ - 1) {(λ + 1)}^{2} - 8 (λ + 1) \\ = (λ + 1) ((λ - 1) (λ + 1) - 8) \\ = (λ + 1) (λ^{2} - 9) \\ = (λ + 1) (λ + 3) (λ - 3) \end{array}

固有ベクトル。

\begin{array}{l} λ = - 1 \\ [\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = - [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \\ x - 2 y - 2 z = - x \\ - 2 x - y = - y \\ - 2 x = 0 \\ x = 0 \\ - 2 y - 2 z = 0 \\ z = - y \\ λ = - 3 \\ [\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = - 3 [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \\ - 2 x - y = - 3 y \\ - 2 x = - 2 y \\ x = y \\ - 2 x - z = - 3 z \\ - 2 x = - 2 z \\ x = z \\ λ = 3 \\ [\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = 3 [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \\ x - 2 y - 2 z = 3 x \\ - 2 x - y = 3 y \\ - 2 x - z = 3 z \\ y = - \frac{1}{2} x \\ z = - \frac{1}{2} z \end{array}

直交行列。

U = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix}]

対角化された行列。

D = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]