固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式実数、2次形式、正であるための必要十分条件、対称行列、行列式

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題9の解答を求めてみる。

問題の2次形式を与える対称行列。

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & a & - 1 \\ - 1 & - 1 & b \end{matrix}]

行列式。

\begin{array}{l} \det A_{1} = 1 \\ \det A_{2} \\ = \det [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix}] \\ = a + 1 \\ \det A_{3} \\ = \det [\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & a & - 1 \\ - 1 & - 1 & b \end{matrix}] \\ = (a b - 1 - 1) - (1 + b + a) \\ = a b - a - b - 3 \\ = (a - 1) (b - 1) - 4 \end{array}

よって、問題の 2次形式が正であるための必要十分条件は

\begin{array}{l} a > - 1 \\ (a - 1) (b - 1) > 4 \end{array}