数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式和および共通部分の直交補空間、等式、内積、零

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス
Yahoo!ショッピング
au PAY マーケット

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題11の解答を求めてみる。

V \subset V + W

なので、

{(V + W)}^{⊥} \subset V^{⊥}

同様にして、

{(V + W)}^{⊥} \subset W^{⊥}

よって、

{(V + W)}^{⊥} \subset V^{⊥} \cap W^{⊥}

x を

V^{⊥} \cap W^{⊥}

の任意の元とすると、

x \in V^{⊥} \land x \in W^{⊥}

任意のVの元 v に対して

x \cdot v = 0

Wの任意の元 w に対して

x \cdot w = 0

よって、

\begin{array}{l} x \cdot v + x \cdot w = 0 \\ x \cdot (v + w) = 0 \end{array}

ゆえに、

x \in {(V + W)}^{⊥}

すなわち

V^{⊥} + W^{⊥} \subset {(V + W)}^{⊥}

よって、

{(V + W)}^{⊥} = V^{⊥} \cap W^{⊥}

また、これにより

\begin{array}{l} {(V^{⊥} + W^{⊥})}^{⊥} = {(V^{⊥})}^{⊥} \cap {(W^{⊥})}^{⊥} \\ {(V^{⊥} + W^{⊥})}^{⊥} = V \cap W \\ V^{⊥} + W^{⊥} = {(V \cap W)}^{⊥} \end{array}