固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式ユニタリ行列の固有値、正規直交基底、複素数

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題3の解答を求めてみる。

Uをユニタリ行列とする。

\bar{U^{T}} U = I

このとき、

\begin{array}{l} U x = λ x \\ x = \bar{U^{T}} λ x \\ x_{i} = \sum_{k = 1}^{n} {\bar{u_{k}}}_{i} λ x_{k} \\ x_{i} = λ \sum_{k = 1}^{n} {\bar{u_{k}}}_{i} x_{k} \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

また、

{u_{1}, \dots, u_{n}}

は

ℂ^{n}

の正規直交基底なので、

\begin{array}{l} | x_{i} | = | λ | \sum_{k = 1}^{n} | \bar{u_{k i}} | | x_{k} | \\ | x_{i} | = | λ | \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | \end{array}

よって、

| λ | = 1

ゆえに、ユニタリ行列の固有値はすべて絶対値1の複素数である。