数学のブログ

固有値と2次形式 2次形式・エルミート形式エルミート行列、正規直交基底、対角行列、シルヴェスターの慣性の法則(Sylvester)、正の数、負の数、零の数、一定

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.2(2次形式・エルミート形式)、問題12の解答を求めてみる。

a

\begin{array}{l} B \\ = {\bar{P}}^{T} A P \\ = ({\bar{p_{j}}}_{i}) (a_{i j}) (p_{i j}) \\ = (\sum_{k = 1}^{n} {\bar{p}}_{k i} a_{k j}) (p_{i j}) \\ = (\sum_{l = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} {\bar{p}}_{k i} a_{k l}) p_{l j}) \\ = (\sum_{l = 1}^{n} ({\bar{p}}_{i} \cdot a_{l}) p_{l j}) \\ = (\sum_{l = 1}^{n} ({\bar{a}}_{l} \cdot p_{i}) p_{l j}) \\ = (\sum_{l = 1}^{n} (a^{l} \cdot p_{i}) p_{l j}) \\ = (A p_{i} \cdot p_{j}) \end{array}

よって、

i = j

のとき、

\begin{array}{l} A p_{i} \cdot p_{j} \\ = A p_{i} \cdot p_{i} \\ = Q_{A} (p_{i}) \\ = b_{i} \end{array}

また、

i \neq j

のとき、

A p_{i} \cdot p_{j} = 0

ゆえに、

B = [\begin{matrix} b_{1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & b_{n} \end{matrix}]

b

{r_{1}, \dots, r_{n}}

をAに関する直交基底とする。

このとき、行列Rを

R = (r_{1}, \dots, r_{n})

とすると、

\begin{array}{l} C = \bar{R^{T}} A R \\ = [\begin{matrix} Q_{A} (r_{1}) & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & Q_{A} (r_{n}) \end{matrix}] \end{array}

各エルミート形式について、正の数、負の数、および0の個数を

p_{0}, q_{0}, s_{0}

とする。

また

Q_{A} (r_{1}), \dots, Q_{A} (r_{p_{0}}) > 0

とする。

r_{p_{0} + 1}, \dots, r_{n}

で生成される

F^{n}

の部分空間をWとすると、任でのWの元xに対して、

Q_{A} (x) \leq 0

よって、

V \cap W = {O}

ゆえに、

\begin{array}{l} \dim (V + W) \\ = \dim V + \dim W \\ = p + (n - p_{0}) \end{array}

となり、

\begin{array}{l} p + (n - p_{0}) \leq n \\ p \leq p_{0} \end{array}

同様に考え、

p_{0} \leq p

よって、

p = p_{0}

他も同様にして、

\begin{array}{l} q = q_{0} \\ s = s_{0} \end{array}

よって、正の数、負の敏、0の個数は直交基底の取り方によらず一定である。

（証明終）