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位相閉集合、開集合、位相空間距離空間、連続写像、直積、恒等写像、グラフ、閉集合、逆像

トポロジー入門
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学習環境

トポロジー入門 (松本幸夫(著)、岩波書店)の第2章(位相)、5(閉集合、開集合、位相空間)の演習問題5.5の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} g : X \times Y \to E^{1} \\ g (x, y) = d_{Y} (f (x), i d_{Y} (y)) \\ = d_{Y} ((f \times i d_{Y}) (x, y)) \\ = (d_{Y} \circ (f \times i d_{Y})) (x, y) \end{array}

とおくと、

d_{Y}, f \times i d_{Y}

は連続写像なので、その合成写像g は連続写像である。

また、

{0} \subset E^{1}

は閉集合で、

Γ_{f} = g^{- 1} ({0})

なのでこのグラフは閉集合である。

（証明終）