数学のブログ

位相 閉集合、開集合、位相空間 距離空間、実数全体の集合、ユークリッド距離、無限個の開集合の共通部分、反例

トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第2章(位相)、5(閉集合、開集合、位相空間)の演習問題5.7の解答を求めてみる。

実数全体の集合とユークリッド距離による距離空間を考える。

n ∈ ℕ ( - ∞ , 1 n ) , ( - 1 n , ∞ )

と表わされる集合は開集合である。

この全ての開集合の共通部分は

{ 0 }

で、これは開集合ではない。