数学のブログ

位相閉集合、開集合、位相空間直積、距離関数、ユークリッド距離、1次元、連続関数

トポロジー入門
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学習環境

トポロジー入門 (松本幸夫(著)、岩波書店)の第2章(位相)、5(閉集合、開集合、位相空間)の演習問題5.4の解答を求めてみる。

(p_{0}, q_{0})

を直積

X \times X

の任意の元とする。

任意の正の実数

ε > 0

に対して、

\begin{array}{l} (p, q) \in X \times X \\ d_{X \times X} ((p, q), (p_{0}, q_{0})) < ε \end{array}

ならば、

\begin{array}{l} | d_{X} (p, q) - d_{X} (p_{0}, q_{0}) | \\ \leq d_{X} (p, q) + d_{X} (p_{0}, q_{0}) \\ = d_{X \times X} ((p, q), (p_{0}, q_{0})) \\ < ε \end{array}

よって、連続関数である。