数学のブログ

位相 距離空間、無限個の閉集合の和集合、反例、数列、極限

トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第2章(位相)、5(閉集合、開集合、位相空間)の演習問題5.6の解答を求めてみる。

E 1

の部分集合

C n = ( ∞ , - 1 n ] ∪ [ 1 n , ∞ ) n ∈ ℕ \ { 0 }

は閉集合である。

このように表される無限個の閉集合の和集合は、

C = U n = 1 ∞ C n = E 1 \ { 0 }

で、

a n = 1 n

という数列に対して、

a n ∈ C

だが

lim n → ∞ a n = 0 ∉ C

なので、 Cは閉集合ではない。