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グリーンの定理ベクトル場の発散と回転発散定理の証明

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、2(ベクトル場の発散と回転)の練習問題2の解答を求めてみる。

グリーンの定理より、

\begin{array}{l} \int_{C} G \\ = \iint_{A} (\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y}) dy dx \\ = \int \int_{A} (d i v F) dy dx \end{array}

また、

\begin{array}{l} \int_{C} G \\ = \int_{C} - q dx + p dy \\ = \int_{a}^{b} (- q \frac{dx}{dt} + p \frac{dy}{dt}) dt \\ = \int_{a}^{b} (p, q) \cdot (\frac{dy}{dt}, - \frac{dx}{dt}) dt \\ = \int_{a}^{b} F \cdot N (t) dt \end{array}

よって、

\iint_{A} (d i v F) dy dx = \int_{a}^{b} F \cdot N (t) dt

（証明終）