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グリーンの定理 ベクトル場の発散と回転 時針と反対方向に向きづけられた閉曲線、内部、領域、偏微分、単位右法ベクトル、右法ベクトル方向の微分係数、グリーンの公式、発散定理の応用

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、2(ベクトル場の発散と回転)の練習問題4の解答を求めてみる。

a

g D n f = g ( g r a d f ) · n

ここで、

F = g ( g r a d f ) = g ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) = ( g ∂ f ∂ x , g ∂ f ∂ y ) n = ( n 1 , n 2 )

とおくと、

g D n f = F · n

また、

d i v F = ∂ ∂ x ( g ∂ f ∂ x ) + ∂ ∂ y ( g ∂ f ∂ y ) = ∂ g ∂ x ∂ f ∂ x + g ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ g ∂ y ∂ f ∂ y + g ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ g ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ g ∂ y ∂ f ∂ y + g ( ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 ) = ( ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y ) · ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) + g Δ f = ( g r a d g ) · ( g r a d f ) + g Δ f = ( g r a d f ) · ( g r a d g ) + g Δ f

発散定理より、

∬ A ( d i v F ) dy dx = ∫ a b F · n dt ∫ ∫ A ( ( g r a d f ) · ( g r a dg ) + g Δ f ) dx dy = ∫ a b F · n dt = ∫ C g D n f d s

b

aと同様にして、

∬ A ( ( g r a d f ) · ( g r a d g ) + f Δ g ) dx dy = ∫ C f D n g d s

aの等式からこの等式の両辺を引けば、

∬ A ( g Δ f - f Δ g ) dx dy = ∫ C ( g D n f - f D n g ) d s