2重積分極座標領域、2つの円、半径、内側、外側、三角関数(正弦と余弦)、距離の平方、積

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題20の解答を求めてみる。

問題の領域の図示。

領域上の上での問題の関数の積分。

\begin{array}{l} \int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{5}{4} π} \int_{1}^{2} \frac{r \cos θ r \sin θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ} \cdot r d r d θ \\ = \int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{5}{4} π} \int_{1}^{2} r \cdot \frac{1}{2} \sin (2 θ) d r d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{5}{4} π} {[r^{2}]}_{1}^{2} \sin (2 θ) d θ \\ = \frac{3}{4} \int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{5}{4} π} \sin (2 θ) d θ \\ = \frac{3}{8} {[- \cos 2 θ]}_{\frac{1}{4} π}^{\frac{5}{4} π} \\ = \frac{3}{8} (- \cos \frac{5}{2} π + \cos \frac{π}{2}) \\ = 0 \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot[
    y >= x && 
    x^2+y^2 <= 2 && 
    x^2+y^2 >= 1,
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2}
]

SphericalPlot3D[
    (r Cos[θ] r Sin[θ]) / ((r Cos[θ])^2+(r Sin[θ])^2) r,
    {r, 1, 2},
    {θ, Pi/4, 5 Pi / 4}
]

Plot3D[
    x y / (x^2+y^2),
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2}
]