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2重積分 極座標 領域、2つの円、半径、内側、外側、三角関数(正弦と余弦)、距離の平方、積

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題20の解答を求めてみる。

問題の領域の図示。

領域上の上での問題の関数の積分。

∫ 1 4 π 5 4 π ∫ 1 2 r cos θ r sin θ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ · r d r d θ = ∫ 1 4 π 5 4 π ∫ 1 2 r · 1 2 sin ( 2 θ ) d r d θ = 1 4 ∫ 1 4 π 5 4 π [ r 2 ] 1 2 sin ( 2 θ ) d θ = 3 4 ∫ 1 4 π 5 4 π sin ( 2 θ ) d θ = 3 8 [ - cos 2 θ ] 1 4 π 5 4 π = 3 8 ( - cos 5 2 π + cos π 2 ) = 0

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot[
    y >= x && 
    x^2+y^2 <= 2 && 
    x^2+y^2 >= 1,
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2}
]
Output
SphericalPlot3D[
    (r Cos[θ] r Sin[θ]) / ((r Cos[θ])^2+(r Sin[θ])^2) r,
    {r, 1, 2},
    {θ, Pi/4, 5 Pi / 4}
]
Output
Plot3D[
    x y / (x^2+y^2),
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2}
]
Output