数学のブログ

2重積分 極座標 領域、2つの円、半径、内側、外側、三角関数(正弦と余弦)、平方、累乗

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題19の解答を求めてみる。

a

∫ - π 2 π 2 ∫ 1 2 ( r 2 cos 2 θ ) r d r d θ = 1 4 ∫ - π 2 π 2 [ r 4 ] 1 2 cos 2 θ d θ = 15 4 ∫ - π 2 π 2 cos 2 θ d θ = 15 2 ∫ 0 π 2 cos 2 θ d θ = 15 2 · π 2 · 1 2 = 15 8 π

b

∫ - π 2 π 2 ∫ 1 2 ( r cos θ ) r d r d θ = 1 3 ∫ - π 2 π 2 [ r 3 ] 1 2 cos θ d θ = 7 3 ∫ - π 2 π 2 cos θ d θ = 7 3 [ sin θ ] - π 2 π 2 = 14 3

c

∫ - π 2 π 2 ∫ 1 2 ( r sin θ ) r d r d θ = 1 3 ∫ - π 2 π 2 [ r 3 ] 1 2 sin θ d θ = 0

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot[
    x >= 0 && x^2+y^2 <= 2 && x^2+y^2 >= 1,
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2},
]
Output
x = r Cos[θ]
Output
y = r Sin[θ]
Output
SphericalPlot3D[
    x^2 r,
    {r, 1, 2},
    {θ, -Pi/2, Pi/2}
]
Output
SphericalPlot3D[
    x r,
    {r, 1, 2},
    {θ, -Pi/2, Pi/2}
]
Output
SphericalPlot3D[
    y r,
    {r, 1, 2},
    {θ, -Pi/2, Pi/2}
]
Output