2重積分極座標領域、2つの円、内側と外側、三角関数(正弦と余弦)、極限、対数関数

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題22の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} \frac{1}{r^{n}} r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{n - 1}{2}}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} \frac{1}{{(r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ)}^{\frac{n - 1}{2}}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} \frac{1}{r^{n - 1}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} r^{- n + 1} d θ \end{array}

場合分け。

\begin{array}{l} n = 2 \\ \int_{0}^{2 π} \int_{a}^{b} \frac{1}{r} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} {[\log r]}_{a}^{b} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \log \frac{b}{a} d θ \\ = 2 π \log \frac{b}{a} \\ n \neq 2 \\ \frac{1}{- n + 2} \int_{0}^{2 π} {[r^{n + 2}]}_{a}^{b} d θ \\ = \frac{1}{- n + 2} (b^{- n + 2} - a^{- n + 2}) \int_{0}^{2 π} d θ \\ = \frac{2 π}{2 - n} (b^{2 - n} - a^{2 - n}) \end{array}

n = 1

のとき、

\lim_{a \to 0} 2 π (b - a) = 2 b π

n = 2

のとき、

\lim_{a \to 0} 2 π \log \frac{b}{a} = \infty

n \geq 3

のとき、

\lim_{a \to 0} \frac{2 π}{2 - n} (b^{2 - n} - a^{2 - n}) = \infty

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Table[
    Plot3D[
        1/Sqrt[x^2+y^2]^n,
        {x, -2, 2},
        {y, -2, 2},
        PlotRange -> {0, 4},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    {n, 1, 5}
] // Column