2重積分極座標領域、原点を中心とする半径が異なる円、内側と外側、立方、逆数

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題17の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{2}^{3} \frac{r}{{(r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ)}^{3}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{2}^{3} \frac{r}{r^{6}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{2}^{3} r^{- 5} d r d θ \\ = - \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} {[r^{- 4}]}_{2}^{3} d θ \\ = - \frac{1}{4} (3^{- 4} - 2^{- 4}) \int_{0}^{2 π} d θ \\ = \frac{1}{4} (2^{- 4} - 3^{- 4}) {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = \frac{π}{2} (2^{- 4} - 3^{- 4}) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

x=r Cos[θ]

y=r Sin[θ]

SphericalPlot3D[
    r/(x^2+y^2)^3,
    {r, 2, 3},
    {θ, 0, 2Pi}
]