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2重積分 極座標 領域、原点を中心とする円盤、半径、三角関数(正弦と余弦)、関数、円周率、極限

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題15の解答を求めてみる。

∫ 0 2 π ∫ 0 a 1 ( r 2 cos 2 x + r 2 sin 2 x + 1 ) 3 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r ( r 2 + 1 ) 3 2 d r d θ = - ∫ 0 2 π [ ( r 2 + 1 ) - 1 2 ] 0 a d θ = - ∫ 0 2 π ( ( a 2 + 1 ) - 1 2 - 1 ) d θ = ( 1 - ( a 2 + 1 ) - 1 2 ) [ θ ] 0 2 π = 2 π ( 1 - ( a 2 + 1 ) - 1 2 )

また、極限について、

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x , y ) dy dx = lim a → ∞ 2 π ( 1 - ( a 2 + 1 ) - 1 2 ) = 2 π

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

x=r Cos[t]^2
Output
y=r Sin[t]^2
Output
a=2

2
SphericalPlot3D[
    1/(x^2+y^2+1)^(3/2) r,
    {t, 0, 2Pi},
    {r, 0, a}
]
Output