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2重積分 極座標 領域、原点を中心とする円盤、半径、三角関数(正弦と余弦)、逆数、平方、関数、円周率、極限

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題16の解答を求めてみる。

∫ 0 2 π ∫ 0 a r ( r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ + 2 ) 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r ( r 2 + 2 ) 2 d r d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π [ ( r 2 + 2 ) - 1 ] 0 a d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π ( ( a 2 + 2 ) - 1 - 2 - 1 ) d θ = 1 2 ( 1 2 - ( a 2 + 2 ) - 1 ) [ θ ] 0 2 π = π ( 1 2 - ( a 2 + 2 ) - 1 )

また、極限について、

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ 1 ( x 2 + y 2 + 2 ) 2 dy dx = lim a → ∞ π ( 1 2 - ( a 2 + 2 ) - 1 ) = π 2

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Manipulate[
    SphericalPlot3D[
        r / (r^2 Cos[θ]^2 + r^2 Sin[θ]^2+2)^2,
        {r, 0, a},
        {θ, 0, 2Pi},
        BoxRatios -> {1, 1, 1}
    ],
    {a, 1, 10}
]
Output