数学のブログ

2重積分 極座標 領域、三角関数、余弦、累乗、偶関数、奇関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題18の解答を求めてみる。

a

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - cos θ ( r cos θ ) r d r d θ = 1 3 ∫ 0 2 π [ r 3 ] 0 1 - cos θ cos θ d θ = 1 3 ∫ 0 2 π ( 1 - cos θ ) 3 cos θ d θ = 1 3 ∫ 0 2 π ( cos θ - 3 cos 2 θ + 3 cos 3 θ - cos 4 θ ) d θ = 1 3 ∫ 0 2 π ( - 3 cos 2 θ - cos 4 θ ) d θ = - 4 3 ∫ 0 π 2 ( 3 cos 2 θ + cos 4 θ ) d θ = - 4 3 ( 3 · π 2 · 1 2 + π 2 · 3 4 · 2 ) = - π ( 1 + 1 4 ) = - 5 π 4

b

∫ 0 2 π ∫ 0 a ( 1 - cos θ ) ( r 2 cos 2 θ ) r d r d θ = 1 4 ∫ 0 2 π [ r 4 ] 0 a ( 1 - cos θ ) cos 2 θ d θ = a 4 4 ∫ 0 2 π ( 1 - cos θ ) 4 cos 2 θ d θ = a 4 4 ∫ 0 2 π ( cos 2 θ - 4 cos 3 θ + 6 cos 4 θ - 4 cos 5 θ + cos 6 θ ) d θ = a 4 ∫ 0 π 2 ( cos 2 θ + 6 cos 4 θ + cos 6 θ ) d θ = π a 4 2 ( 1 2 + 6 · 3 4 · 2 + 5 · 3 6 · 4 · 2 ) = π a 4 2 · 24 + 108 + 15 48 = 147 π a 4 96 = 49 π a 4 32

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

x = r Cos[θ]
Output
SphericalPlot3D[
    x,
    {θ, 0, 2 Pi},
    {r, 0, 1 - Cos[θ]}
]
Output
PolarPlot[
    1 - Cos[θ],
    {θ, 0, 2 Pi}
]
Output
a = 2

2
PolarPlot[
    a (1 - Cos[θ]),
    {θ, 0, 2 Pi}
]
Output
SphericalPlot3D[
    x^2,
    {θ, 0, 2 Pi},
    {r, 0, a (1 - Cos[θ])}
]
Output
SphericalPlot3D[
    x^2,
    {θ, 0, 2 Pi},
    {r, 0, 1 (1 - Cos[θ])}
]
Output
SphericalPlot3D[
    x^2,
    {θ, 0, 2 Pi},
    {r, 0, 10 (1 - Cos[θ])}
]
Output