2重積分極座標角と半径、三角関数(正弦と余弦)、倍角、平方根

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題13の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} r = \sqrt{\cos θ} \\ \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{\sqrt{\cos θ}} r d r d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {[r^{2}]}_{0}^{\sqrt{\cos θ}} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos θ d θ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos θ d θ \\ = {[\sin θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = 1 \end{array}

\begin{array}{l} r = \sqrt{2} a \sqrt{\cos 2 θ} \\ 2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{\sqrt{2} a \sqrt{\cos 2 θ}} r d r d θ \\ = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} {[r^{2}]}_{0}^{\sqrt{2} a \sqrt{\cos 2 θ}} d θ \\ = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 a^{2} \cos 2 θ d θ \\ = 2 a^{2} \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \cos 2 θ d θ \\ = a^{2} {[\sin 2 θ]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \\ = a^{2} (1 + 1) \\ = 2 a^{2} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

PolarPlot[Sqrt[Cos[θ]], {θ, -Pi / 2, Pi / 2}]

PolarPlot[Sqrt[2]Sqrt[Cos[2θ]], {θ, 0, 2 Pi}]