2重積分極座標密度、円盤、円周、半径、距離の平方、比例、三角関数(余弦)、質量

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題6の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 a (\cos θ)} k r^{2} \cdot r d r d θ \\ = k \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 a (\cos θ)} r^{3} d r d θ \\ = \frac{1}{4} k \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {[r^{4}]}_{0}^{2 a (\cos θ)} d θ \\ = \frac{1}{4} k \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 a^{4} \cos^{4} θ d θ \\ = 4 k a^{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} θ d θ \\ = 8 k a^{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} θ d θ \\ = 8 k a^{4} \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2} \\ = \frac{3}{2} k π a^{4} \end{array}

kは比例定数。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

SphericalPlot3D[
    r^3,
    {θ, -Pi / 2, Pi / 2},
    {r, 0, 2 Cos[θ]}
]