2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、距離

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} (x^{2} + y^{2}) dx dy \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} ({(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2}) r d r d θ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} r^{3} d r d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[r^{4}]}_{0}^{a} d θ \\ = \frac{a^{4}}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \\ = \frac{a^{4}}{4} {[θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \frac{π a^{4}}{8} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a = 2

Plot3D[x^2+y^2,
       {y, 0, a},
       {x, 0, Sqrt[a^2-y^2]},
       AxesLabel -> Automatic]